Komplexa lösningar
Det finns även ekvationer var både högerled och vänsterled består av komplexa anförande. En strategi för för att lösa dessa ekvationer existerar följande:
Exempel 2
Lös ekvationen $z^4=i$4=
Lösning
Eftersom ekvationen är en fjärdegradsekvation finns fyra möjliga lösningar. Vi börjar med för att skriva om $VL$ och $HL$ mot polär form för för att sedan sätta dem lika med varandra och åtgärda ekvationen.
$z=r(\cos v+i\sin v)$=(cos+sin)
$VL=z^4=r^4(\cos4v+i\sin4v)$=4=4(cos4+sin4) i enlighet med de Moivres formel
$HL=i=0+i$==0+ vid rektangulär form, vilket ger absolutbeloppet:
$|0+i|=\sqrt{0^2+1^2}=1$|0+|=√02+12=1
Argumentet är $\frac{\pi}{2}$π2 eftersom talet $i$ ligger på den positiva imaginära axeln inom det komplexa talplanet.
Detta innebär att $i$ på polärform är $1\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\text{ }\sin\frac{\pi}{2}\right)$1(cosπ2+sinπ2).
Likheten $VL=HL$= ger att:
$r^4(\cos4v+i\text{ }\sin4v)=1\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\text{ }\sin\frac{\pi}{2}\right)$4(cos4+sin4)=1(cosπ2+sinπ2)
Det leder ti
Komplexa tal
När vi studerade svar av andragradsekvationer i Matte 2 stötte vi på grund av första gången på dem komplexa talen när oss löste andragradsekvationer men oss kallade det då för att det saknades reella lösningar.
I det här avsnittet bör vi bekanta oss tillsammans med hur vi ändå är kapabel hantera situationen när oss saknar reella lösningar, genom införandet av så kallade imaginära tal, som tillsammans med de reella talen bildar komplexa tal.
Vi såg att vi inte kunde lösa andragradsekvationen
$$x^{2}+25=0$$
Eftersom vi fastnade på att vi ej kunde lösa
$$x=\sqrt{}$$
då vi fram tills nu inte besitter haft några verktyg till att beräkna negativa kvadratrötter.
Detta är något som matematiker länge tyckte var otillfredsställande, eftersom det ledde mot att vi saknade sätt att uttrycka lösningen mot många andragradsekvationer. På talet kom dock den kände schweiziske matematikern Leonhard Euler fram till att oss kunde lösa dessa ekvationer om vi införde enstaka ny typ av anförande genom införandet av den imaginära e